考虑索赔大小的机动车保险BMS的应用模型分析

蔡亚蓉1邵学清2

            （1.中国建设银行，北京100032；2.中国科学技术促进发展研究中心，北京 100038）
　　
　　［摘要］有关考虑索赔大小的BMS理论研究已比较成熟，但目前除韩国外，世界上其他国家的保险公司在设计机动车保险的BMS时，都未考虑索赔大小。不考虑索赔大小的BMS存在很多弊端，将来会有越来越多的保险公司采用考虑索赔大小的BMS。本文试着建立了一个考虑索赔大小的机动车保险BMS的应用模型，并就此应用模型进行分析，包括转移矩阵、稳定分布、等级保费的确定等，最后做了实证分析。此模型具有比较好的科学性和操作性，具有一定的理论与实践价值。
　　［关键词］BMS；索赔次数；索赔大小；应用模型
　　［中图分类号］ F840.69 ［文献标识码］ A ［文章编号］1004-3306（2007）05-0044-03
　　Abstract： The claim sizebased BMS theory study has become quite mature. However, with an exception of Korea, insurers of all other countries haven′t taken the size of claim into account in designing the BMS of motor insurance. Such a BMS has a number of defects. We believe that more and more insurers will take claim size into consideration of BMS. In the paper we create an applied BMS model considering the claim size, and provide an indepth analysis, such as transferred matrix, stabilized distribution, and the premium for each grade, and conclude with a practical research on this model. The model is scientific and maneuverable, so has much value in both the academic and practical senses.
　　Key words：BMS; claim frequency; claim size; application model
　　
　　有关考虑索赔大小的BMS的理论研究已经相对比较成熟，但到目前为止，除了韩国以外，世界上其他国家的保险公司在设计机动车保险的BMS时，都未考虑索赔大小。通过系统分析，可以确定为以下两个主要原因：一是确定转移规则的困惑。因为索赔大小可以认为是没有上限的，所以考虑索赔大小的理论模型的一个共同点就是所有BMS的等级数都是无限的，也就是说，投保人可能转入的风险等级数未知，这样一来，就无法确定一个明确的转移规则，没有转移规则，与BMS有关的许多研究和操作就无法实现。二是确定等级保费的困惑。保险之所以出现、存在，是因为它是以共同承担风险为前提的。将索赔大小引入以后，如果等级保费按期望损失原理来确定，高风险投保人出现的索赔完全由该投保人的保费来补偿，这显然有悖这个前提。当然，还有其他影响因素，如只考虑索赔次数的BMS操作程序比较简单；保险双方已经习惯于当前的BMS等等。
　　目前，很多精算人员和保险公司已经很清醒地认识到，不考虑索赔大小的BMS存在很多的弊端。因此，将来会有越来越多的保险公司将采用考虑索赔大小的BMS。基于这样的考虑，本文试着为机动车保险建立一个比较合理的考虑索赔大小的BMS的应用模型。一、考虑索赔大小的BMS的建模
　　假设某投保人在一投保期内有n（n=0,1,2,3,…）次索赔，且每一次索赔的大小分别为qi(i=0,1,2,…,n)，则此投保人在该投保期内的索赔总额为q（q=∑ni=1qi）。显然，q是一个非负数。现在取一组常数d1,d2,…dm，且满足0＜di＜dj(1≤i＜j≤m)。为了便于保险公司操作，在此基础上，可以建立如下分段函数：
　　Q=Q0()q=0
　　Q1()0＜q≤d1
　　Q2()d1＜q≤d2
　　()
　　Qm()dm-1＜q≤dm
　　Qm+1()dm＜q＜+∞
　　在此，我们称Qk(k=0,1,…,m+1)为索赔总额分段值，Q为索赔总额分段函数，不难发现，此分段函数共有m+2个分段值。这里Qk可以是定性的，也可以是定量的，在下面的内容里，我们取Qk为分段区间的期望值。
　　基于新建的分段函数，我们可以这样设计一个机动车辆保险中考虑索赔大小的奖惩系统：
　　1.将一组在同样分类条件下（如相同性别、年龄等）的投
　　［作者简介］蔡亚蓉，博士研究生，现供职于中国建设银行；邵学清，博士，现供职于中国科学技术促进发展研究中心。
　　保人分成若干有限的奖惩等级，每个等级用ci表示，或者简单地表示为i （i=1,2,…,s,s表示等级总数），年保费的多少只依赖于不同的等级。
　　2.在某个保险期内（通常为一年），一个投保人所在的等级由他前期所在的等级和前期的索赔总额分段值唯一确定。
　　这样一个BMS由下面的三个因素决定：
　　（1） 保费水平b=(b1,b2，…，bs)；
　　（2） 初始等级为ci0；
　　（3） 转移规则，即当投保人前期索赔总额分段值已知时（由分段函数所得），决定由原等级转移到新等级的原则。
　　这一转移规则可表示为TQ，其中TQ(i)=j表示当索赔总额分段值为Q时，投保人将从ci等级转到cj等级。TQ的矩阵形式为：TQ=(t(Q)ij)
　　其中t(Q)ij=1()当TQ（i）=j时
　　0()其他
　　若某个投保人的索赔总额分段值为Q，则在一个时期从ci转移到cj的概率Pij(Q)满足：Pij(Q)=∑m+1()k=0PQK(Q)t(Q)ij
　　其中PQK(Q)为具有索赔总额分段函数Q的投保人在一投保期内取得索赔总额分段值Qk(k=0,1,…,m+1)的概率。显然，Pij(λ)≥0，且有∑s()j=1Pij(Q)=1
　　则矩阵为：M(Q)=(Pij(Q))=∑m+1()k=0PQK(Q)TQK
　　同样是一个马尔可夫链的转移矩阵（因为这个转移过程也只依赖于现状而不依赖于过程的历史和形成的方式，所以这个过程形成了一个马尔可夫链），这类似于只考虑索赔次数时BMS的转移矩阵。
　　二、模型的分析
　　1. 稳定分布。因为q是一投保人在某个投保期内的索赔总额，索赔总额里包含了索赔次数与索赔大小的历史信息，同时Q是q的函数，而上面建立的BMS应用模型是基于索赔总额分段函数值的，因此，这个模型不仅考虑了索赔次数，同时也考虑了索赔大小，明显优于目前使用的只考虑索赔次数的BMS模型。
　　因为考虑索赔大小的BMS的转移矩阵是一个马尔可夫链，所以如果上述BMS在保险公司存在一段时间以后，就也会像只考虑索赔次数的BMS一样逐渐趋于稳定状态，那么此时具有索赔总额q的投保人处在各个保费等级的概率分布是稳定的。这个稳定的分布由下面的等式给出：
　　e∞(q)=lim()n→∞Mn(Q)e0(q)
　　且满足条件：
　　∑s()i=1e∞(i,q)=1
　　这里e∞(i,q)是向量e∞(q)的第i个元素。
　　如果上述极限存在，则通过计算转移矩阵M(Q)的左特征值，然后获得左特征向量，则这些特征向量就组成了稳定分布概率的向量。
　　2. 等级保费的确定。建立BMS模型以后，还有许多需要研究的问题，而其中投保双方最关心的问题是，一旦转移规则、保费等级数确定以后，怎样才能获得最优的保费等级水平。在只考虑索赔次数的BMS中，精算人员大多利用期望原理来确定等级保费。但是，完全的期望原理是否适合考虑索赔大小的BMS呢？我们来看，投保人之间索赔次数的差异并不是很大，偶尔有10次左右索赔的可能，但毕竟少之又少，大部分投保人的索赔次数集中3次以下，如我国某保险公司南方分公司2002年的索赔次数历史数据显示，索赔次数为两次或两次以下的投保人就占了98.66%(94 318÷95 601=98.66%)。而索赔大小的差别就非常显著，甚至上千倍、万倍（这也是目前考虑索赔大小的BMS没有得到很好推广的原因之一）。因此完全期望值原理并不适合考虑索赔大小的BMS等级保费的确定。但是从理论角度出发，我们可以对期望原理作一些变通。事实上，在零效用原理下的BMS中，c的不同取值，就是对等级保费的调节，详见Gerber（1974）。
　　假设投保人当前期非零索赔总额q服从密度函数为f(x)(x＞0)的分布，利用Stuart A.(1998)一文提到的调零分布，则投保人的索赔总额分段值取Qk的概率为PQK(q)为：
　　PQK(q)=PQ0()Q=Q0
　　(1-PQ0)∫dkdk-1f(x)dx()Q=Qk,k=1,2,…,m
　　(1-PQ0)∫+∞dmf(x)dx()Q=Qm+1
　　另外，为了方便研究，我们取：
　　Q0=0，
　　Qk=∫dkdk-1xf(x)dx,k=1,2,…,m,
　　Qm+1=∫+∞dixf(x)dx。
　　也就是取索赔总额分段值为索赔总额q在各分段区间的均值。
　　当系统趋于稳定以后，取分段值Qk(k=0,1,…,m+1)的投保人分散在s个奖惩等级里，假设取分段值Qk(k=0,1,…,m+1)的投保人处在第i(i=1,2,…,s)个奖惩等级的概率为pi,k，系统的稳定分布为pi(i=1,2,…,s),则有：
　　∑s()i=1∑m+1()k=0pi,k=1,∑m+1()k=0pi,k=pi
　　则处在等级i的投保人的风险可以用qi来代表，
　　qi=∑m+1()k=0Qk•pi,k，i=1,2,…,s
　　则等级奖惩系数可以定义为：ci=qi()μw，0≤w≤1
　　其中μ为所有投保人索赔总额的均值，w为严厉性调节指数，当w=0时，投保人之间的奖惩没有差别，当w=1时，等级保费趋于期望值原理保费。需要说明的是，w的选取不是随意的，如果保险公司选定了严厉性指数，则在财务稳定的前提下可以计算出w。这种等级保费的确定比较复杂，如果要投入应用，还需进一步研究。
　　然而，Loimaranta, K.(1972)为我们提供了启示，此文认为续保费包含两部分，一部分是基本保费，一部分是奖惩保费，在同一分类组里的投保人往往被认为是同质的，因此基本保费相同，同时为了便于操作，世界上许多保险公司的BMS的等级保费是等差的，基于这些事实，我们可以这样来设计等级保费：ci=a+(i-1)b（1）
　　其中b为常数，由保险公司自己确定。a满足以下等式：∑s()i=1cipi=∑s()i=1［a+(i-1)b］pi=1（2）
　　此等式的存在，保证了保险公司财务上的稳定性。
　　三、模型的应用
　　假设一保险公司采用考虑索赔大小的BMS，将投保人分成8个奖惩等级，同时将投保人的一个投保期内的索赔总额分成9段。转移规则是如果没有索赔，即索赔总额为零，则往高折扣率方向转移两位，转移以最高折扣率等级为限度；如果发生索赔，且索赔总额分段值为Qk(k=1,…,8)，则在原等级的基础上往低折扣率方向转移k个等级，转移以最低折扣率等级为限度。另外，假设保险公司取等级差20%。
　　根据转移规则，我们可以写出其转移矩阵TQ。另外为了方便，在转移矩阵里我们用索赔总额分段值的下标k代表索赔总额分段值Qk(k=0,1,…,8)，则有：
　　87654321
　　TQ=8
　　7
　　6
　　5
　　4
　　3
　　2
　　1{1,2,…,8}()-(){0}()-()-()-()-()-
　　{1,2,…,8}()-()-(){0}()-()-()-()-
　　{2,3,…,8}(){1}()-()-(){0}()-()-()-
　　{3,4,…,8}(){2}(){1}()-()-(){0}()-()-
　　{4,5,…,8}(){3}(){2}(){1}()-()-(){0}()-
　　{5,6,7,8}(){4}(){3}(){2}(){1}()-()-(){0}
　　{6,7,8}(){5}(){4}(){3}(){2}(){1}()-(){0}
　　{7,8}(){6}(){5}(){4}(){3}(){2}(){1}(){0}
　　同样，为了方便，用Pk代表PQK(q)(k=0,1,…,8)，则可以得到转移概率矩阵MQ。
　　87654321
　　MQ=8
　　7
　　6
　　5
　　4
　　3
　　2
　　11-P0()0()P0()0()0()0()0()0
　　1-P0()0()0()P0()0()0()0()0
　　1-P0-P1()P1()0()0()P0()0()0()0
　　1-P0-P1-P2()P2()P1()0()0()P0()0()0
　　P4+…+P8()P3()P2()P1()0()0()P0()0
　　P5+P6+P7+P8()P4()P3()P2()P1()0()0()P0
　　P6+P7+P8()P5()P4()P3()P2()P1()0()P0
　　P7+P8()P6()P5()P4()P3()P2()P1()P0
　　在此，我们还是利用我国某家保险公司在南部某省分公司2002年的机动车辆保险的索赔历史数据为例。该分公司2002年投保人数为95 601人，其中无索赔记录的有86 655个，如果取分段点dk(k=1,2,…,7)依次为5、10、20、40、80、150、300，则索赔总额被划分为9段，详见表1。
　　利用表1我们可以计算出转移概率矩阵MQ（这里用频率代替与之相关的概率）。
　　通过计算得到如表2的稳定分布。
　　则根据等级系数计算公式（1），可以得到a=0.87，这样就获得如表3的保费等级系数。
　　索赔总额的分段情况
　　表1
　　分
　　段()0()0～5()5～10()10～20()20～40()40～80()80~150()150~300()>300()合计个
　　数()86 655()926()1 393()2 525()1 658()822()651()534()437()95 601频
　　率()0.9 064()0.0 097()0.0 146()0.0 264()0.0 173()0.0 086()0.0 068()0.0 056()0.0 046()1.0 000MQ=
　　系统稳定后的分布
　　表2
　　p1()p2()p3()p4()p5()p6()p7()p80.7 968()0.0 489()0.0 334()0.0 455()0.0 234()0.0 258()0.0 082()0.0 180BMS的保费等级系数
　　表3
　　c1()c2()c3()c4()c5()c6()c7()c80.87()1.07()1.27()1.47()1.67()1.87()2.07()2.27此BMS的三个严厉性指标分别为：
　　RSAL=P-PL()PH-P=1-0.87()2.27-01=0.10
　　ECL=Pin-P()P=1-1()1=0
　　ξ=μ()σ=1()0.75=1.33
　　由于在最优等级的投保人比较集中（87%），所以相对稳定平均水平RSAL数值较小；加上此BMS是完全充分的，所以超额收费水平ECL为0，另外变异系数ξ也很适中。因此，此BMS是比较合理的。
　　［参考文献］
　　［1］Gerber, H.(1974), on additive premium calculation principles, Astin Bulletin, Vol.7, pp.215-222.
　　［2］Loimaranta, K.(1972), Some asymptotic properties of bonus systems. Astin Bulletin, Vol.6, pp.233-245.
　　［3］Stuart A, K., Panjer, H.H. & Gordon E.W.(1998), Loss Models From Data To Decisions, Jonn Wiley & Sons,INC.
　　［4］（美）勒梅尔著，袁卫译.汽车保费的定价原理［M］.北京：经济科学出版社，1997.
　　［编辑：郝焕婷］保险研究2007年第5期寿险专论INSURANCE STUDIESNo.52007