寿险公司死亡率风险免疫理论研究

黄晓艳1刘昆2唐迎凌2

  （1.盐城工学院经济与管理学院，江苏 盐城 224003；2.长安责任保险股份有限公司筹备组，北京 100062）
　　
　　［摘要］在过去的半个世纪中，免疫理论在寿险行业的资产负债管理中得到了广泛的应用，目前免疫理论主要是为了应对利率风险。本文提出了寿险产品组合的死亡率免疫的条件，通过建立模型对该条件进行了论证。根据死亡率免疫理论可以优化寿险公司的产品组合，解决目前寿险产品组合混沌无序的状态, 为经营者提供一种量化公司产品组合死亡率风险的工具，并在死亡率免疫的条件下，探讨了寿险业资产负债管理的模式，即寿险业资产负债匹配是指投资资产现金流与负债现金流的匹配，而不是负债现金流和保费本身的匹配。
　　［关键词］死亡率；死亡率免疫；产品组合
　　［中图分类号］ F840.32 ［文献标识码］ A ［文章编号］1004-3306（2007）06-0056-03
　　Abstract： The immunity theory was widely applied in asset liability management in the life insurance industry during the past halfcentury. It is applied to the interest rate risk today. This article proposed the criteria for mortality risk immunity of life insurance portfolio and established a model to testify the integrity of the criteria. The mortality rate immunity theory can be used to optimize the life insurance portfolio, bring order to the current life insurance portfolio, and provide life insurers with a tool to quantify the mortality rate risk of their portfolio. This paper also explored with the asset liability management model for the life insurance industry under the condition of mortality rate immunity. The asset liability matching refers to the matching of investment assets cash flow with liability cash flow rather than the matching of premiums received with the liability cash flow.
　　Key words：mortality rate; mortality rate immunity;product portfolio
　　
　　免疫理论最早由英国精算师Frank M.Redington于1952年提出，在过去的半个世纪内得到了巨大的发展，关于免疫理论及相关领域的理论研究取得了诸多成果。无论研究成果多么复杂，免疫的理论基础是相同的，即免疫的投资策略能够抵抗利率的不利变动，即如果实际利率发生不利于投资活动的变动时，整个投资策略仍然能够在目标时刻点实现预定的价值。
　　免疫理论的提出是为了应对利率风险，目前，国际上关于免疫理论的研究也仅仅局限于利率免疫，关于死亡率的免疫目前还没有相关的研究。利率免疫主要是通过改变投资资产组合来满足负债现金流的要求，由于寿险产品的负债现金流是随机的，用一种确定的方法应对一个随机的现金流是一种比较被动的方法。本文尝试性地提出了寿险产品死亡率免疫理论，并将其应用于寿险产品的组合优化中，并以此为依据提出寿险产品组合战略。
　　一、死亡率风险免疫的必要性
　　死亡率的波动直接影响到寿险业务的发展与经营。当寿险公司的实际经验死亡率与产品设计中所使用的假定死亡率之间存在不利差异时，就产生了死差损。反之，则产生了死差益，死差益是公司利润的一种潜在来源，或者是针对情况恶化的安全系数。对人寿保险而言，死亡利润随着实际死亡率的增加而减少，随着实际死亡率的降低而增加；对于生存年金而言，死亡利润随着实际死亡率的增加而增加，随着实际死亡率的降低而减少。因此，对于寿险来说，死亡率提高或降低都有可能对公司造成影响，具体的影响方向取决于公司内部死亡给付产品和生存给付产品的组合。为了稳定公司寿险业务的经营，我们需要优化公司内部死亡给付产品和生存给付产品的组合，实现死亡率风险的免疫。
　　死亡率的波动直接影响到寿险公司的资产负债匹配。寿险公司的产品组合特征决定了其负债的期限结构与利率敏感性。反之，根据资产负债匹配的原则，寿险公司的负债特征又决定了其资产的期限结构、品种结构。从产品到负债、从负债到资产的过程构成了寿险公司资产负债匹配管理的过程。死亡率的波动直接影响了公司产品组合的负债现金流，负债流的变化导致资产组合的变化。因此，为了优化
　　［作者简介］黄晓艳，讲师，华东师范大学商学院在读研究生，现供职于盐城工学院经济与管理学院；刘昆，现供职于长安责任保险股份有限公司筹备组；唐迎凌，中国准精算师，现供职于长安责任保险股份有限公司筹备组。
　　公司的资产组合，首先必须优化公司产品的组合，实现产品组合负债现金流的确定化，为了达到这个目的，就需要优化公司内部死亡给付产品和生存给付产品的组合，实现死亡率风险的免疫。
　　死亡率的波动直接影响公司内部的利率免疫。免疫理论的提出就是为了应对利率的波动风险，但是在进行利率免疫的时候，保险人面临的一个问题是某些寿险产品的负债现金流的金额和时间都是不确定的。在这种情况下，所进行的利率免疫将不能充分地反应产品的特性。因此，需要一种新技术使寿险产品负债的未来现金流确定化，即消除死亡率风险对负债现金流的影响。为了实现上述目的，需要优化公司内部死亡给付产品和生存给付产品的组合，实现死亡率风险的免疫。
　　二、死亡率风险免疫理论模型
　　（一）模型假设
　　假设存在一个寿险公司A，A公司的产品有两大类，一类是死亡给付产品，主要有定期寿险和终生寿险等；另一类是生存给付产品，主要有生存保险、年金产品等。
　　对于A公司内部所有x岁保单持有人的群体（x），这个群体涵盖了公司内部所有的产品线，令Bt和Ct分别表示t时刻公司所有产品的死亡给付和生存给付。为了在离散的情况下进行考虑，假设所有的死亡给付和生存给付都发生在年末，即t=0，1，2，……，n-1，n。另外假设px+t为生存函数；px，px+1，…px+t…px+n-1，px+n之间是相互独立的，且都大于零；Sx表示公司内（x）群体未来死亡给付和生存给付的现值。
　　在本文中，生存函数是从一个公司的角度进行定义的，而不是传统的从个体的生命进行定义，在保险中，一般假设所有的个体是独立的，即一个人的死亡率与另一个人的死亡率是不相关的（现实中，由于伤心综合症等原因，死亡率具有一定的相关性，在此不考虑）。在从一个公司的角度进行定义公司内部所有x岁的生存函数时，我们假设px，px+1，…px+t…px+n-1，px+n之间相互独立是成立的。另外，为了保证所有的生存函数都大于零，可以通过限定n的取值来实现，根据A公司的承保规定，最高承保年龄为105周岁，因此我们设定n≤105-x。在下面模型的经济学意义中，笔者重新论证了上面所有假设的合理性。
　　（二）模型推导
　　根据上面的假设，图1给出了A公司内部所有产品线x岁的群体的未来所有可能的死亡给付和生存给付。
　　图1（x）死亡给付与生存给付图
　　为了考虑死亡率对公司产品负债现金流的影响，首先计算未来所有可能的死亡给付和生存给付，在下面的分析中，以群体（x）为例，根据上面的假设和图1， 可以得出公式：
　　Sx=∑n()t=1［Ctvtpxpx+1…px+t-1+Btvtpxpx+1…px+t-2qx+t-1］
　　因为qx+t=1-px+t， 我们可以替换掉px+t，则Sx化简为一个n元函数，即：
　　Sx=∑n()t=1［Ctvtpxpx+1…px+t-1+Btvtpxpx+1…px+t-2(1-px+t-1)］
　　为了消除死亡率对Sx的影响，我们下面分别计算Sx()px+1，并令Sx()px+1=0，其中t=0，1，2，……，n-1，n。进而可以得出：
　　Sx()px+1=pxpx+1…px+t-1(Ct-Bt)vt+……+
　　pxpx+1…px+t-1px+t+1…px+n-1Cnvn+pxpx+1…px+t-1px+t+1…px+n-2(1-px+n-1)Bnvn=0
　　根据假设，所有的生存函数都大于零，解上面的方程组，可以得出：
　　Bn=Cn，Bn-1=Cn-1+Bn(1+i)-1，
　　Bn-2=Cn-2+Bn-1(1+i)-1，…,
　　Bt=Ct+Bt+1(1+i)-1，…B1=C1+B2(1+i)-1。
　　在上面的推导过程中，为了便于表示，假设未来的利率是在未来所有的期间是不变的。为了使该结论更具有一般化，假设未来的利率是变化的，令表示未来时间段t-1到t之间的利率。同理，可以得出：
　　Bn=Cn，Bn-1=Cn-1+Bn(1+in)-1，
　　Bn-2=Cn-2+Bn-1(1+in-1)-1，…，
　　Bt=Ct+Bt+1(1+ii+1)-1，…B1=C1+B2(1+i2)-1。
　　在Bt=Ct+Bt+1(1+i)-1的条件下，我们可以计算Sx的二重偏微分，可以得出2Sx()p2x+t都等于零，并且2Sx()px+mpx+1也都为零（0≤m≤n，0≤l≤n，且m≠l）。
　　（三）模型结论
　　假设死亡率的波动用Δx表示，即一个x岁的人因为死亡率变动，其现在的生命变为x+Δx，当死亡率波动时，我们考虑Sx和Sx+Δx的关系，根据泰勒展开公式，可以得出：
　　Sx+Δx=Sx+S′x(Δx)+ξ［（Δx）2］
　　其中，S′x表示Sx的一重偏微分，ξ［（Δx）2］表示为无穷小。
　　如果假设A公司内部所有产品的死亡给付Bt和生存给付Ct都满足公式Bt=Ct+Bt+1(1+ii+1)-1，根据上面模型推导的结果，可以得出：
　　Sx+Δx=Sx
　　如果公司内部群体（x）的产品组合的死亡给付和生存给付满足Bt=Ct+Bt+1(1+i)-1，那么公司内部群体（x）的产品组合的死亡给付和生存给付现值将不再受死亡率波动的影响，公司实现了对于群体（x）的死亡率的免疫。
　　（四）模型结论的实际应用
　　从上面死亡率免疫理论的推导过程来看，这个死亡率免疫理论其实也可以运用到特定对象的死亡率风险管理中，特别是在数据不充分的情况下，可以帮助公司化解巨灾风险，比如运动员、农民工的死亡率与社会法律、环境等因素关系较为密切，因此应加强死亡率风险管理，优化产品组合的设计。现在很多公司推出具有死亡给付的养老金产品也是顺应了这个趋势，即实现产品内的死亡率风险的免役。
　　1.年金保险
　　假设B1=B2=…Bn=B，则Cn=B，C1=C2=…Cn-1=B(1-v)，其类似一个年金保险，若期限为终身的，那么该产品就是一个标准年金保险。
　　假设C1=C2=…Cn=C，则Bn=C，Bn-1=C(1+v)，…B1=C(n-1+v)，其类似一个保证n年给付的年金保险。
　　2.两全保险
　　假设C1=C2=…Cn-1=0，B1=B，则B2=B(1+i)，…，Bn=B(1+i)n-1，Bn=Cn，其类似一个保额递增的两全保险，若期限为终身的，那么该产品就是保额递增的终身寿险。
　　保险公司资产负债匹配是指投资资产现金流与负债现金流的匹配，而不是负债现金流和保险费本身的匹配。如果能在定价过程中同时考虑资产和负债的特点，则可以实现负债的死亡率免疫，又可实现资产负债对利率的免疫，从而最大限度地防范新产品开发面临的风险。
　　三、利用死亡率风险免疫理论优化产品组合
　　寿险产品是保险公司提供的一种服务, 是一种体现风险保障能力的服务, 是风险保障能力和服务形式的融合。在早期, 一家保险公司往往只经营某一种保险产品, 因此, 不存在保险产品组合问题。随着保险业的发展, 目前保险公司都经营多种保险产品, 涵盖了死亡给付和生存给付产品系列，因此，保险经营也就成了保险产品组合的经营。
　　根据现代耗散理论的理解, 目前的保险产品组合的形态是自然的、混沌无序的, 经营者对保险产品组合对死亡率的影响无意知晓，也没有一个量化的工具。保险公司的产品线在涵盖了死亡给付和生存给付产品后，面临的一个问题就是死亡率的“背对背”问题，即对于一个人同时购买了公司的死亡给付和生存给付产品，其死亡率对公司的影响到底如何，保险人无从得知。
　　根据死亡率免疫理论，根据死亡率免疫的条件来调整公司内部的死亡给付和生存给付产品组合，就可以实现对于死亡率的免疫，这就解决了目前产品组合所面临的问题。死亡率免疫理论，为进行优化产品组合提供了一种理论支持和技术支持。根据死亡率免疫理论，保险人可以通过以下几个步骤优化产品组合，实现公司产品对死亡率的免疫。
　　1.检查公司的产品线，保证公司的产品系列涵盖死亡给付和生存给付产品，只有这样公司才有可能实现死亡率的对冲。
　　2.计算公司内部群体（x）的产品组合在未来时间t的死亡给付和生存给付，根据死亡率免疫理论的条件Bt=Ct-Ct+1(1+i)-1，检验其是否满足这个条件。
　　3.根据步骤1和2检验的结果，调整公司的产品开发战略和市场营销战略，逐步使群体（x）的产品组合在未来时间t的死亡给付和生存给付满足死亡率免疫理论的条件。
　　4.在满足死亡率免疫理论的条件后，根据该条件制定公司的业务承保组合比例，以实现死亡给付和生存给付的优化组合。
　　在分析一个寿险公司的经验风险时，首先要分析其死亡率风险，特别是在目前低利率时期，有效地控制死亡率风险，减少死差益，对于稳定公司的经营具有十分重要的意义。
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　　［编辑：苏北］保险研究2007年第6期风险管理INSURANCE STUDIESNo.62007